無名巨大数 - 偽計数学妨害罪

名もなき巨大数コンテストのエントリー

小超限行列数

表記

$x,y,y',a_{x,y},k,n$ ：非負整数
$S_x=(a_{x,0},a_{x,1},a_{x,2}...)$
$M=S_0S_1S_2...S_k$

正規形： $M[n]$

$∀y'[(y＜y')⇒(a_{y'}=0)]$ を満たす $y$ が存在するとき、 $(a_0,a_1,a_2...a_y,a_{y+1},a_{y+2}...)$ を $(a_0,a_1,a_2...a_y)$ と略記してもよいとする。

計算法

$b,c,x,y,a_{x,y},d_{x,y},k,n,r$ ：非負整数
$Z$ ：零ベクトル

rule1： $\text{if}　k=0$

$M[n]=n+1$

rule2： $\text{if}　S_k=Z$

$M[n]=S_0S_1S_2...S_{k-1}[n+1$ ]

rule3

$\text{dim}(x)=\text{Max}\{b|0＜a_{x,b}\}$
$p_0(x)=\text{Max}\{b|(b＜x)∧(a_{b,0}＜a_{x,0})\}$
$p_{y+1}(x)=\text{Max}\{b|(b＜x)∧(a_{b,y+1}＜a_{x,y+1})∧(∃c[p_y^c(x)=b])\}$
$r=\text{Max}\{b|∀y[(y≤\text{dim}(k))⇒(∃c[p_y^c(k)=b])]\}$
- - $d_{0,y}=\begin{cases}a_{k,y}-a_{r,y}&\text{if}　y＜\text{dim}(k)\\a_{k,\text{dim}(k)}-a_{r,\text{dim}(k)}-1&\text{if}　\text{dim}(k)≤y≤\text{dim}(k)+n\\0&\text{otherwise}\end{cases}$
  - $d_{x+1,y}=\begin{cases}d_{0,y}&\text{if}　∃b[p_y^b(r+x+1)=r]\\0&\text{otherwise}\end{cases}$

$A=S_0S_1S_2...S_{r-1}$
$B_0=S_rS_{r+1}S_{r+2}...S_{k-1}$
$B_b=B_0+\Delta×b$
$M[n]=AB_0B_1B_2...B_n[n]$

命名

$f(n)=(0)(n)[n]$
小超限行列数 $=f^{10}(10)$

計算例

(0)(4,3)(3,1,1)(0)[1]
=(0)(4,3)(3,1,1)[2]
=(0)(4,3)(3,1)(7,4)(6,2)(10,5)[2]
=(0)(4,3)(3,1)(7,4)(6,2)(10,4,2,2)(14,6,4,4)[2]
=(0)(4,3)(3,1)(7,4)(6,2)(10,4,2,2)(14,6,4,3,1,1)(18,8,6,4,2,2)[2]
=(0)(4,3)(3,1)(7,4)(6,2)(10,4,2,2)(14,6,4,3,1,1)(18,8,6,4,2,1)(22,10,8,5,3,1)[2]

コラッ弱そう数

$a_{n+1}=\begin{cases} \frac{9}{2}a_n&\text{if}　Mod(a_n,6)=0\\ 21a_n-105&\text{if}　Mod(a_n,6)=1\\ 9a_n-36&\text{if}　Mod(a_n,6)=2\\ \frac{4}{7}a_n+4&\text{if}　Mod(a_n,6)=3\\ \frac{4}{3}a_n-\frac{4}{3}&\text{if}　Mod(a_n,6)=4\\ \frac{7}{3}a_n-\frac{20}{3}&\text{if}　Mod(a_n,6)=5\end{cases}$
※ $a_n$ が整数でないとき、 $a_{n+1}$ は未定義とする。

$a_0=491$ とするとき、 $a_n$ の末項をコラッ弱そう数とする。

解説

$a_n$ は以下の表記を元にしています。

$(a,b,c)=\begin{cases}(a,b-1,c+2)&\text{if}　0＜b\\(a-1,2,c)'&\text{if}　b=0\end{cases}$
$(a,b,c)'=\begin{cases}(a,b+2,c-1)'&\text{if}　0＜c\\(a,b,2)&\text{if}　c=0\end{cases}$

実際の数列の計算では、 $(a,b,c)$ は $7^a×2^b×3^c$ に、 $(a,b,c)'$ は $7^a×2^b×3^c+4$ に対応します。計算過程は以下のようになります。

まず $a_n=7^a×2^b×3^c$ ( $a$ と $b$ は自然数)のとき、 $a_n$ は6の倍数になるので $a_{n+1}=\frac{9}{2}a_n=7^a×2^{b-1}×3^{c+2}$ になります。

$b$ が0になるまで $c$ に2が足され続け、 $b$ が0になると $a_n$ は3で割り切れる奇数、つまり6で割って3余る数になります。

$Mod(a_n,6)=3$ になると $a_{n+1}=\frac{4}{7}a_n+4$ になり、 $Mod(a_{n+1},6)=4$ になります。

$Mod(a_n,6)=4$ のときの式は $a_{n+1}=\frac{4}{3}(a_n-4)+4$ と変形できます。なので $a_n=7^a×2^b×3^c+4$ とすると、 $a_{n+1}=7^a×2^{b+2}×3^{c-1}+4$ と表すことができ、 $c$ が0になるまで $b$ に2が足され続けます。