4次方程式を真面目に解きたい

こんにちは、108Hassiumです。

以前、こんな記事を書きました。

hassium277.hatenablog.com

簡単に説明すると、今までの人生で避け続けてきた3次方程式が実は高校レベルの知識で解けることを知り挑戦するも、複雑すぎて結局何も得られない、という話でした。

さて、聞いた話によるとどうやら4次方程式も3次方程式と同様な方法で解けるらしいです。

というわけで、無益であることは目に見えていますが、4次方程式を真面目に解いてみたいと思います。

一般の4次方程式の解法

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　...というわけで、よろしくお願いします。

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　もう自分で考えようともしないのか…。

　108Hassium：この記事の執筆者。友達がいない。

　ウィキペディア　フリー百科事典先生：人間に知恵を与え、賢くなった気にさせる存在。

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　前回と同様に、 $x^4-x^3-x^2-x-1=0$ という具体例を使用します。

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　ではまずは4次の項の係数で割って…おっと、今回は係数が1だから要らんのか。

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　分数まみれになるのが嫌だったので、割らなくていい式を選びました。

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　じゃぁ次は、3次の項を消すのじゃ。やり方は3次方程式のときとほとんど変わらんぞ。

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　3次方程式を解くときは、 $x=y-\frac{a_2}{3}$ ( $a_2$ は2次の項の係数)と置換してましたね。

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　うむ。今回は $x=y-\frac{a_3}{4}$ ( $a_3$ は3次の項の係数)じゃ。

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　なるほど。

$x^4-x^3-x^2-x-1$

$=(y+\frac{1}{4})^4-(y+\frac{1}{4})^3-(y+\frac{1}{4})^2-(y+\frac{1}{4})-1$

$=y^4+\frac{4}{4}y^3+\frac{6}{16}y^2+\frac{4}{64}y+\frac{1}{256}-y^3-\frac{3}{4}y^2-\frac{3}{16}y-\frac{1}{64}-y^2-\frac{2}{4}y-\frac{1}{16}-y-\frac{1}{4}-1$

$=y^4+(\frac{3}{8}-\frac{3}{4}-1)y^2+(\frac{1}{16}-\frac{3}{16}-\frac{1}{2}-1)y+\frac{1}{256}-\frac{1}{64}-\frac{1}{16}-\frac{1}{4}-1$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　計算面倒くせぇ～！！！

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　この程度で音を上げるでない。この先まだまだ・・・

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　出でよ、わが友！！！

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　！？

f:id:Hassium277:20200625202452p:plain:w100 　どうも、関数電卓です。

　関数電卓：普通の電卓とは違って複雑な数式を入力出来たり、分数を分数のまま計算してくれたりする便利な計算器。

f:id:Hassium277:20200625202452p:plain:w100 　前回も使いまくってたのに急にどうした？

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　すまん、前回は話の都合上出番が無くて。

f:id:Hassium277:20200625202452p:plain:w100 　脇役ならずっと脇役のままでもよかったんだけどな。

$=y^4+(\frac{3}{8}-\frac{3}{4}-1)y^2+(\frac{1}{16}-\frac{3}{16}-\frac{1}{2}-1)y+\frac{1}{256}-\frac{1}{64}-\frac{1}{16}-\frac{1}{4}-1$

$=y^4-\frac{11}{8}y^2-\frac{13}{8}y+\frac{339}{256}=0$

f:id:Hassium277:20200625202452p:plain:w100 　ほらよ。*1

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　汚ぇ値だな…で、次はどうするんですか？

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　もうちょっと感謝してやれよ。

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　さて次は、 $(y^2+ay+b)(y^2+cy+d)=0$ と変形したときの $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ の値を求めると良いぞ。

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　なるほど、その形に変形できれば2次方程式に帰着できますね。変形後の式を展開して係数を比較すればよさそうですね。

$(y^2+ay+b)(y^2+cy+d)$

$=y^4+cy^3+dy^2+ay^3+acy^2+ady+by^2+bcy+bd$

$=y^4+(a+c)y^3+(b+ac+d)y^2+(ad+bc)y+bd$

$\begin{cases}a+c=0\\b+ac+d=-\frac{11}{8}\\ad+bc=-\frac{13}{8}\\bd=\frac{339}{256}\end{cases}$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　うわ、面倒臭っ。

$c=-a$

$b-a^2+d=-\frac{11}{8}$

$a^2=b+d+\frac{11}{8}$

$ad-ab=-\frac{13}{8}$

$a^2(d-b)^2=\frac{169}{64}$

$(b+d+\frac{11}{8})(d-b)^2=\frac{169}{64}$

$d=\frac{339}{256b}$

$(b+\frac{339}{256b}+\frac{11}{8})(\frac{339}{256b}-b)^2=\frac{169}{64}$

$b^3(b+\frac{339}{256b}+\frac{11}{8})(\frac{339}{256b}-b)^2=\frac{169}{64}b^3$

$(b^2+\frac{339}{256}+\frac{11}{8}b)(\frac{339}{256}-b^2)^2$

$=(b^2+\frac{339}{256}+\frac{11}{8}b)(\frac{114921}{65536}-\frac{339}{128}b^2+b^4)$

$=\frac{114921}{65536}b^2-\frac{339}{128}b^4+b^6+\frac{38958219}{16777216}-\frac{114921}{65536}b^2+\frac{339}{256}b^4+\frac{1264131}{524288}b-\frac{3729}{1024}b^3+\frac{11}{8}b^5$

$=\frac{169}{64}b^3$

$b^6+\frac{11}{8}b^5+(-\frac{339}{128}+\frac{339}{256})b^4+(-\frac{3729}{1024}-\frac{169}{64})b^3+(\frac{114921}{65536}-\frac{114921}{65536})b^2+\frac{1264131}{524288}b+\frac{38958219}{16777216}$

$=b^6+\frac{11}{8}b^5-\frac{339}{256}b^4-\frac{6433}{1024}b^3+\frac{1264131}{524288}b+\frac{38958219}{16777216}=0$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　ちょっと先生！これどういうことですか！？

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　やり方が悪いだけじゃ。見てなさい。

$c=-a$

$2ab=a^3-\frac{11}{8}+\frac{13}{8}$

$2ad=a^3-\frac{11}{8}-\frac{13}{8}$

$4a^2×\frac{339}{256}=4a^2bd=(2ab)(2ad)=(a^3-\frac{11}{8}+\frac{13}{8})(a^3-\frac{11}{8}-\frac{13}{8})$

$a^2(a^2-\frac{11}{8})^2-\frac{169}{64}=\frac{339}{64}a^2$

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　ほれ。

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　すみません、全然何やってるかわからないです。

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　相変わらず無礼な奴じゃ。

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　仕方ない、自分でやるか…。さっきは $b$ について解こうとして失敗したから、今度は $a$ について解いてみるか。

$\begin{cases}a+c=0&　・・・(1)\\b+ac+d=-\frac{11}{8}&　・・・(2)\\ad+bc=-\frac{13}{8}&　・・・(3)\\bd=\frac{339}{256}&　・・・(4)\end{cases}$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　まずは(1)を使って $c$ を消そう。これはウィキペディア先生もやってたから合ってるはず。

$c=-a$

$b-a^2+d=-\frac{11}{8}・・・(5)$

$ad-ab=-\frac{13}{8}・・・(6)$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　(5)を使えば、 $d$ も消せるな。

$d=a^2-b-\frac{11}{8}・・・(7)$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　まずは(7)を(4)に代入。

$b(a^2-b-\frac{11}{8})=\frac{339}{256}$

$a^2b-b^2-\frac{11}{8}b=\frac{339}{256}・・・(8)$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　(6)にも(4)を代入。

$a(a^2-b-\frac{11}{8})-ab=-\frac{13}{8}$

$a^3-2ab-\frac{11}{8}a=-\frac{13}{8}・・・(9)$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　(9)を $b$ について解いて、

$2ab=a^3-\frac{11}{8}a+\frac{13}{8}$

$b=\frac{1}{2}a^2-\frac{11}{16}+\frac{13}{16a}・・・(10)$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　(10)を(8)に代入。

$a^2(\frac{1}{2}a^2-\frac{11}{16}+\frac{13}{16a})-(\frac{1}{2}a^2-\frac{11}{16}+\frac{13}{16a})^2-\frac{11}{8}(\frac{1}{2}a^2-\frac{11}{16}+\frac{13}{16a})=\frac{339}{256}$

$\frac{1}{2}a^4-\frac{11}{16}a^2+\frac{13}{16}a-\frac{1}{4}a^4-\frac{121}{256}-\frac{169}{256a^2}+\frac{11}{16}a^2-\frac{13}{16}a+\frac{143}{128a}-\frac{11}{16}a^2+\frac{121}{128}-\frac{143}{128a}$

$=\frac{1}{4}a^4-\frac{11}{16}a^2+\frac{121}{256}-\frac{169}{256a^2}=\frac{339}{256}$

$a^6-\frac{11}{4}a^4-\frac{109}{32}a^2-\frac{169}{64}=0$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　え？

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　これを $a^2$ についての3次方程式と見做して解けば、 $a$ の値が求まるぞい。

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　地獄かよ。

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　まずは $a^2=e+\frac{11}{12}$ と置換する。

$a^6-\frac{11}{4}a^4-\frac{109}{32}a^2-\frac{169}{64}$

$=e^3+\frac{11}{4}e^2+\frac{121}{48}e+\frac{1331}{1728}-\frac{11}{4}e^2-\frac{121}{24}e-\frac{1331}{576}-\frac{109}{32}e-\frac{1199}{384}-\frac{169}{64}$

$=e^3+(\frac{11}{4}-\frac{11}{4})e^2+(\frac{121}{48}-\frac{121}{24}-\frac{109}{32})e+\frac{1331}{1728}-\frac{1331}{576}-\frac{1199}{384}-\frac{169}{64}$

f:id:Hassium277:20200628111040j:plain
f:id:Hassium277:20200628111059j:plain
f:id:Hassium277:20200628111118j:plain
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f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　…えっ？

f:id:Hassium277:20200625202452p:plain:w100 　すまねぇ、俺はもう…。

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　そんな…嘘、だろ？

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　関数電卓！！！！！

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　通分ぐらい自分でやれってことじゃな。

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　そうですね。*2

$e^3-\frac{569}{96}e-\frac{25241}{3456}=0$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　次に $e=f+g$ と置換して変形する。

$e^3-\frac{569}{96}e-\frac{25241}{3456}$

$=(f+g)^3-\frac{569}{96}(f+g)-\frac{25241}{3456}$

$=f^3+3f^2g+3fg^2+g^3-\frac{569}{96}(f+g)-\frac{25241}{3456}$

$=f^3+g^3-\frac{25241}{3456}+(f+g)(3fg-\frac{569}{96})=0$

$\begin{cases}f^3+g^3-\frac{25241}{3456}=0\\3fg-\frac{569}{96}=0\end{cases}$

$g=\frac{569}{288f}$

$f^3+\frac{184220009}{23887872f^3}-\frac{25241}{3456}=0$

$f^6-\frac{25241}{3456}f^3+\frac{184220009}{23887872}=0$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　で、これを $f^3$ についての2次方程式として解く、と。

$f^3=\frac{1}{2}\left(\frac{25241}{3456}±\sqrt{\frac{637108081}{11943936}-\frac{184220009}{5971968}}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{25241}{3456}±\sqrt{\frac{268668063}{11943936}}\right)$

$=\frac{25241}{6912}±\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}$

f:id:Hassium277:20200525163823p:plain:w100 　今回 $a$ の値は1個求めれば十分なので、3次方程式の解も1個しか使いませんよね。

f:id:Hassium277:20200525162545p:plain:w100 　うむ、その通りじゃ。

$f=\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}$

$g=\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}})}$

$e=f+g$

$=\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}$

$a=\sqrt{e+\frac{11}{12}}$

$=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}}$

$c=-a$

$=-\sqrt{\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}}$

$b=\frac{1}{2}a^2-\frac{11}{16}+\frac{13}{16a}$

$=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}\right)-\frac{11}{16}+\frac{13}{16\sqrt{\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}}}$

$d=\frac{339}{256b}$

$=\frac{339}{256\left(\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}\right)-\frac{11}{16}+\frac{13}{16\sqrt{\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}}}\right)}$

$y=\frac{1}{2}\left(-a±\sqrt{a^2-4b}\right)$ 、 $\frac{1}{2}\left(-c±\sqrt{c^2-4d}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(-\sqrt{\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}}±\sqrt{-\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}-\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}-\frac{11}{3}+\frac{13}{4\sqrt{\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}}}}\right)$ 、

$\frac{1}{2}\left(\sqrt{\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}}±\sqrt{\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}-\frac{339}{64\left(\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}\right)-\frac{11}{16}+\frac{13}{16\sqrt{\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}+\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\sqrt[3]{\frac{25241}{6912}-\sqrt{\frac{9950669}{1769472}}}+\frac{11}{12}}}\right)}}\right)$